Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{10}{5 - 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 lim_{x \to 8} \frac{1}{5 - 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$10 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 5 - 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$10 \frac{1}{lim_{x \to 8} 5 - 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$10 \frac{1}{lim_{x \to 8} 5 - lim_{x \to 8} 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$10 \frac{1}{5 - lim_{x \to 8} 15^{- \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$10 \frac{1}{5 - 15^{lim_{x \to 8} - \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.7

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \frac{1}{5 - 15^{- lim_{x \to 8} \frac{x}{2}}}$

Schritt 1.8

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \frac{1}{5 - 15^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$10 \frac{1}{5 - 15^{- \frac{1}{2} \cdot 8}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$10 \frac{1}{5 - 15^{\frac{- 1}{2} \cdot 8}}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$10 \frac{1}{5 - 15^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (4))}}$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{1}{5 - 15^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 4)}}$

Schritt 3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$10 \frac{1}{5 - 15^{- 1 \cdot 4}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$10 \frac{1}{5 - 15^{- 4}}$

Schritt 3.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{5 - \frac{1}{15^{4}}}$

Schritt 3.1.4

Potenziere $15$ mit $4$ .

$10 \frac{1}{5 - \frac{1}{50625}}$

Schritt 3.1.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{50625}{50625}$ .

$10 \frac{1}{5 \cdot \frac{50625}{50625} - \frac{1}{50625}}$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $5$ und $\frac{50625}{50625}$ .

$10 \frac{1}{\frac{5 \cdot 50625}{50625} - \frac{1}{50625}}$

Schritt 3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 \frac{1}{\frac{5 \cdot 50625 - 1}{50625}}$

Schritt 3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $50625$ .

$10 \frac{1}{\frac{253125 - 1}{50625}}$

Schritt 3.1.8.2

Subtrahiere $1$ von $253125$ .

$10 \frac{1}{\frac{253124}{50625}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 (1 (\frac{50625}{253124}))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{50625}{253124}$ mit $1$ .

$10 (\frac{50625}{253124})$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{50625}{253124}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $253124$ heraus.

$2 \cdot 5 \frac{50625}{2 \cdot 126562}$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{50625}{2 \cdot 126562}$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{50625}{126562})$

Schritt 3.5

Kombiniere $5$ und $\frac{50625}{126562}$ .

$\frac{5 \cdot 50625}{126562}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $5$ mit $50625$ .

$\frac{253125}{126562}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{253125}{126562}$

Dezimalform:

$2.00000790 \dots$