Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(\frac{18 x}{18 x + 4})}^{5 x}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $18 x + 4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{18 x + 4})}^{5 x}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x$ heraus.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 4})}^{5 x}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 2 (2)})}^{5 x}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 x) + 2 (2)$ heraus.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

Schritt 1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} {(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$ als $e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})$ durch Herausziehen von $5 x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} 5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{9 x}{9 x + 2})}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 lim_{x \to 8} \frac{x}{9 x + 2})}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + 2})}$

Schritt 3.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2})}$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

Schritt 3.9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$e^{40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

Schritt 5.2

Vereinfache $40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})$ , indem du $40$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40})}$

Schritt 5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $9 \cdot 8 + 2$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $9 \cdot 8$ heraus.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2})}^{40}$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2 (1)})}^{40}$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (9 \cdot 4) + 2 (1)$ heraus.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Schritt 5.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

Schritt 5.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(9 \frac{4}{9 \cdot 4 + 1})}^{40}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

${(9 \frac{4}{36 + 1})}^{40}$

Schritt 5.5.2

Addiere $36$ und $1$ .

${(9 (\frac{4}{37}))}^{40}$

Schritt 5.6

Multipliziere $9 (\frac{4}{37})$ .

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{37}$ .

${(\frac{9 \cdot 4}{37})}^{40}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

${(\frac{36}{37})}^{40}$

Schritt 5.7

Wende die Produktregel auf $\frac{36}{37}$ an.

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

Dezimalform:

$0.33421894 \dots$