Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{4 x + 10}{2 x - 2}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x + 10$ und $2 x - 2$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x) + 10}{2 x - 2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x) + 2 (5)}{2 x - 2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (5)$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x + 5)}{2 x - 2}}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x + 5)}{2 (x) - 2}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x + 5)}{2 (x) + 2 (- 1)}}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x + 5)}{2 (x - 1)}}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 (2 x + 5)}{2 (x - 1)}}$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x + 5}{x - 1}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x + 5}{x - 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x + 5}{lim_{x \to 2} x - 1}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}{lim_{x \to 2} x - 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}{lim_{x \to 2} x - 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x + 5}{lim_{x \to 2} x - 1}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x + 5}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x + 5}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 5}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 5}{2 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 10.2

Addiere $4$ und $5$ .

$\sqrt{\frac{9}{2 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{2 - 1}}$

Schritt 10.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{1}}$

Schritt 10.5

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 10.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 10.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$