Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{e^{x} - \cos^{2} (x)}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - {(lim_{x \to 8} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$\frac{{(e^{4})}^{2} - \cos^{2} (8)}{8}$

Schritt 7.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{4}$ und $b = \cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + \cos (8)) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Berechne $\cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + 0.99026806) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Schritt 7.1.3.2

Addiere $e^{4}$ und $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Schritt 7.1.3.3

Berechne $\cos (8)$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 1 \cdot 0.99026806)}{8}$

Schritt 7.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 0.99026806)}{8}$

Schritt 7.1.3.5

Subtrahiere $0.99026806$ von $e^{4}$ .

$\frac{55.5884181 \cdot 53.60788196}{8}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $55.5884181$ mit $53.60788196$ .

$\frac{2979.97735619}{8}$

Schritt 7.3

Dividiere $2979.97735619$ durch $8$ .

$372.49716952$