Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + 1)}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} 3 x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1)}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (e^{24} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{24} + 1)}{8}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (e^{24} + 1)}{8}}$

Dezimalform:

$20.08553692 \dots$