Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{e^{- 2 x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} - 2 x}}{lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{- 2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{e^{- 2 lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{e^{- 2 lim_{x \to 8} x}}{\frac{1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{e^{- 2 lim_{x \to 8} x}}{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{- 2 \cdot 8}}{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{e^{- 2 \cdot 8}}{\frac{1}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Bringe $e^{- 2 \cdot 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{8}} e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{8}}$ und $e^{2 \cdot 8}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{2 \cdot 8}}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{\sqrt{8}}{e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{8}}{e^{2 \cdot 8}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{8}}{e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{2 \cdot 8}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{16}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{16}}$

Dezimalform:

$3.1829754 \cdot 10^{- 7}$