Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x \sqrt{x^{2} + 2 x} - 2 \sqrt{x^{2} + x} + x$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \sqrt{x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x} - 2 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1