Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $n$ aus $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1.1

Faktorisiere $n$ aus $2 n^{3}$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.1.2

Faktorisiere $n$ aus $3 n^{2}$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.1.3

Potenziere $n$ mit $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.1.4

Faktorisiere $n$ aus $n^{1}$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.1.5

Faktorisiere $n$ aus $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.1.6

Faktorisiere $n$ aus $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 n$ heraus.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 729$ heraus.

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6 n^{3}$ heraus.

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Schritt 2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Schritt 2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $- 243$ und $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n$ und $n^{3}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $n$ aus $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ heraus.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $n$ aus $2 n^{3}$ heraus.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.2

Um $729$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.3

Kombiniere $729$ und $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $243$ aus $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $243$ aus $729 \cdot 2 n^{2}$ heraus.

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $243$ aus $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ heraus.

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $243$ aus $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ heraus.

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $(- 2 n - 1) (n + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.7.1.1

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1.1.1

Bewege $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7.1.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7.1.3

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.7.2

Subtrahiere $n$ von $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.8

Subtrahiere $2 n^{2}$ von $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.5.9.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 n$ heraus.

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.1.4

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Schritt 2.5.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$