Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x + 1)}^{x}$ als $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ um.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(x + 1)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Schritt 4

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x)}^{x}$ als $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ um.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln ({(x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Schritt 7.2

Bringe $e^{8 \cdot \ln (8)}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7.3

Multipliziere $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ mit $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7.3.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.3.1

Vereinfache $8 \ln (9)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $9$ mit $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache $- 8 \ln (8)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Schritt 7.3.3.4

Potenziere $8$ mit $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Schritt 7.3.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Schritt 7.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Schritt 7.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ mit $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Dezimalform:

$0.94226428 \dots$