Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{x^{3} + x^{4}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 14

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 15.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 64} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{512 + 128} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.4

Addiere $512$ und $128$ .

$\frac{\sqrt{640} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.5

Schreibe $640$ als $8^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 16.1.5.1

Faktorisiere $64$ aus $640$ heraus.

$\frac{\sqrt{64 (10)} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.5.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.7

Potenziere $8$ mit $5$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 32768 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $32768$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98304 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.9

Subtrahiere $8$ von $98304$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98296}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.10

Schreibe $98296$ als $2^{2} \cdot 24574$ um.

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Schritt 16.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $98296$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{4 (24574)}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{2^{2} \cdot 24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 8^{4}}$

Schritt 16.2.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 4096}$

Schritt 16.2.3

Addiere $512$ und $4096$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}$ und $4608$ .

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Schritt 16.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

Schritt 16.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{24574}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})}{4608}$

Schritt 16.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{4608}$

Schritt 16.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4608$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 (2304)}$

Schritt 16.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 \cdot 2304}$

Schritt 16.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

Dezimalform:

$0.07352867 \dots$