Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{\frac{5}{x}} - 3}{π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{\frac{5}{x}} - 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{\frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{\frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} \frac{5}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 e^{5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3 e^{5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} π - 2 \arctan (x)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} π - lim_{x \to 8} 2 \arctan (x)}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{π - lim_{x \to 8} 2 \arctan (x)}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 e^{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 3}{π - 2 lim_{x \to 8} \arctan (x)}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 lim_{x \to 8} \arctan (x)}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 \arctan (8)}$

Schritt 12.3

Berechne $\arctan (8)$ .

$\frac{3 e^{5 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 1 \cdot 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{π - 2 \cdot 1.44644133}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.44644133$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{π - 2.89288266}$

Schritt 13.2.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{3.14159265 - 2.89288266}$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $2.89288266$ von $3.14159265$ .

$\frac{3 e^{\frac{5}{8}} - 3}{0.24870998}$

Schritt 13.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{3 \cdot {2.71828182}^{\frac{5}{8}} - 3}{0.24870998}$

Schritt 13.4

Dividiere $5$ durch $8$ .

$\frac{3 \cdot {2.71828182}^{0.625} - 3}{0.24870998}$

Schritt 13.5

Potenziere $2.71828182$ mit $0.625$ .

$\frac{3 \cdot 1.86824595 - 3}{0.24870998}$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $3$ mit $1.86824595$ .

$\frac{5.60473787 - 3}{0.24870998}$

Schritt 13.7

Subtrahiere $3$ von $5.60473787$ .

$\frac{2.60473787}{0.24870998}$

Schritt 13.8

Dividiere $2.60473787$ durch $0.24870998$ .

$10.47299258$