Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{(3 x - 1) \cdot (x^{2} - 4)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} (3 x - 1) \cdot (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 x + 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(lim_{x \to 8} 2 x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 12

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(24 - 1 \cdot 1) (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(24 - 1) (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.1.3

Subtrahiere $1$ von $24$ .

$\frac{23 (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.1.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{23 (64 - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{23 (64 - 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.1.6

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$\frac{23 \cdot 60}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{23 \cdot 60}{{(16 + 1)}^{2} (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.2.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} (8 - 1)}$

Schritt 17.2.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} \cdot 7}$

Schritt 17.2.5

Potenziere $17$ mit $2$ .

$\frac{23 \cdot 60}{289 \cdot 7}$

Schritt 17.3

Mutltipliziere $23$ mit $60$ .

$\frac{1380}{289 \cdot 7}$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $289$ mit $7$ .

$\frac{1380}{2023}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1380}{2023}$

Dezimalform:

$0.68215521 \dots$