Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{(3 x + 1) (2 x - 3)}{(5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} (3 x + 1) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (5 x - 2) (x + 4)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 5 x - 2 \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 11

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} x + 4}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 4)}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} x + 4)}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(24 + 1) (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16.1.2

Addiere $24$ und $1$ .

$\frac{25 (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{25 (16 - 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{25 (16 - 3)}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16.1.5

Subtrahiere $3$ von $16$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(5 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (8 + 4)}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(40 - 1 \cdot 2) (8 + 4)}$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{25 \cdot 13}{(40 - 2) (8 + 4)}$

Schritt 16.2.3

Subtrahiere $2$ von $40$ .

$\frac{25 \cdot 13}{38 (8 + 4)}$

Schritt 16.2.4

Addiere $8$ und $4$ .

$\frac{25 \cdot 13}{38 \cdot 12}$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $25$ mit $13$ .

$\frac{325}{38 \cdot 12}$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $38$ mit $12$ .

$\frac{325}{456}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{325}{456}$

Dezimalform:

$0.71271929 \dots$