Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{9 - 4 y^{2}}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{9 - 4 y^{2}}{9 y^{2} + 2 y}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{9 - 4 y^{2}}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - 4 y^{2}}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - {(2 y)}^{2}}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = 2 y$ .

$\frac{(3 + 2 y) (3 - (2 y))}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 + 2 y) (3 - 2 y)}{9 y^{2} + 2 y}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y$ aus $9 y^{2} + 2 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$\frac{(3 + 2 y) (3 - 2 y)}{y (9 y) + 2 y}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{(3 + 2 y) (3 - 2 y)}{y (9 y) + y \cdot 2}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (9 y) + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{(3 + 2 y) (3 - 2 y)}{y (9 y + 2)}$