Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{- 8 x - 9}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} - 8 x - 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 5}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{- 64 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 64 - 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $9$ von $- 64$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 5}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 72 + 5}}$

Schritt 11.2.3

Addiere $64$ und $72$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{136 + 5}}$

Schritt 11.2.4

Addiere $136$ und $5$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{141}}$

Schritt 11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{73}{\sqrt{141}}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{73}{\sqrt{141}}$ mit $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- (\frac{73}{\sqrt{141}} \cdot \frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}})$

Schritt 11.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $\frac{73}{\sqrt{141}}$ mit $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{\sqrt{141} \sqrt{141}}$

Schritt 11.5.2

Potenziere $\sqrt{141}$ mit $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} \sqrt{141}}$

Schritt 11.5.3

Potenziere $\sqrt{141}$ mit $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} {\sqrt{141}}^{1}}$

Schritt 11.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{2}}$

Schritt 11.5.6

Schreibe ${\sqrt{141}}^{2}$ als $141$ um.

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Schritt 11.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{141}$ als $141^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{(141^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{1}}$

Schritt 11.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Dezimalform:

$- 6.14770902 \dots$