Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{7 + 5^{x} + 3^{- x}}{13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + 5^{x} + 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $13$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{lim_{x \to 8} - x}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 12.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $5$ mit $8$ .

$\frac{7 + 390625 + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{3^{8}}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.3

Potenziere $3$ mit $8$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.4

Addiere $7$ und $390625$ .

$\frac{390632 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.5

Um $390632$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{390632 \cdot \frac{6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.6

Kombiniere $390632$ und $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.8.1

Mutltipliziere $390632$ mit $6561$ .

$\frac{\frac{2562936552 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.1.8.2

Addiere $2562936552$ und $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $5$ mit $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + 9^{- 8}}$

Schritt 13.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{9^{8}}}$

Schritt 13.2.3

Potenziere $9$ mit $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{43046721}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $13$ und $390625$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 + \frac{1}{43046721}}$

Schritt 13.2.5

Um $390638$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 \cdot \frac{43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Schritt 13.2.6

Kombiniere $390638$ und $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Schritt 13.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721 + 1}{43046721}}$

Schritt 13.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.8.1

Mutltipliziere $390638$ mit $43046721$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997998 + 1}{43046721}}$

Schritt 13.2.8.2

Addiere $16815684997998$ und $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997999}{43046721}}$

Schritt 13.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{43046721}{16815684997999}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6561$ .

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $6561$ aus $43046721$ heraus.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 (6561)}{16815684997999}$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 \cdot 6561}{16815684997999}$

Schritt 13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2562936553 (\frac{6561}{16815684997999})$

Schritt 13.5

Kombiniere $2562936553$ und $\frac{6561}{16815684997999}$ .

$\frac{2562936553 \cdot 6561}{16815684997999}$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $2562936553$ mit $6561$ .

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Dezimalform:

$0.99998464 \dots$