Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{(6 x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} (6 x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1) (x - 1)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 14

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Schritt 16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 17

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{(6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 18

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 18.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 18.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 18.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 18.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 18.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{(6 \cdot 8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 19.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 \cdot 8 - 1 \cdot 2$ und $3 \cdot 8 + 2$ .

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Schritt 19.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $6 \cdot 8$ heraus.

$\frac{(- (- 6 \cdot 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$\frac{(- (- 6 \cdot 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 6 \cdot 8) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.1.4

Schreibe $- (- 6 \cdot 8 + 2)$ als $- 1 (- 6 \cdot 8 + 2)$ um.

$\frac{- 1 (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 6 \cdot 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 (((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 19.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 (((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1))}$

Schritt 19.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 8 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 1 (- 24 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.2

Addiere $- 24$ und $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 23 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.3

Subtrahiere $3$ von $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 23 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 23$ .

$\frac{23 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.2.4.2

Mutltipliziere $23$ mit $13$ .

$\frac{299}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{299}{(12 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.3.2

Addiere $12$ und $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1 \cdot 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1) (8 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 19.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{299}{13 \cdot (32 - 1) (8 - 1)}$

Schritt 19.3.4

Subtrahiere $1$ von $32$ .

$\frac{299}{13 \cdot 31 (8 - 1)}$

Schritt 19.3.5

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{299}{13 \cdot 31 \cdot 7}$

Schritt 19.3.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 19.3.6.1

Mutltipliziere $13$ mit $31$ .

$\frac{299}{403 \cdot 7}$

Schritt 19.3.6.2

Mutltipliziere $403$ mit $7$ .

$\frac{299}{2821}$

Schritt 19.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $299$ und $2821$ .

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Schritt 19.4.1

Faktorisiere $13$ aus $299$ heraus.

$\frac{13 (23)}{2821}$

Schritt 19.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.4.2.1

Faktorisiere $13$ aus $2821$ heraus.

$\frac{13 \cdot 23}{13 \cdot 217}$

Schritt 19.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 \cdot 23}{13 \cdot 217}$

Schritt 19.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{23}{217}$

Schritt 20

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{23}{217}$

Dezimalform:

$0.10599078 \dots$