Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{- 5 + \frac{5}{x}}{9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} - 5 + \frac{5}{x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 8} 5 + lim_{x \to 8} \frac{5}{x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 1 \cdot 5 + lim_{x \to 8} \frac{5}{x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 5 + 5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 9 - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 9 - lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{9 - lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{9 - 2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{9 - 2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{9 - 2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{- 5 + 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}{9 - 2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 5 + 5 (\frac{1}{8})}{9 - 2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 5 + 5 (\frac{1}{8})}{9 - 2 \frac{1}{8^{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{- 5 + 5 (\frac{1}{8})}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 5 + \frac{5}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot \frac{8}{8} + \frac{5}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{5}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 5 \cdot 8 + 5}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\frac{\frac{- 40 + 5}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.5.2

Addiere $- 40$ und $5$ .

$\frac{\frac{- 35}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 - 2 (\frac{1}{64})}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 + 2 (- 1) \frac{1}{64}}$

Schritt 14.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 32}}$

Schritt 14.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 32}}$

Schritt 14.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 - \frac{1}{32}}$

Schritt 14.3.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32}{32}$ .

$\frac{- \frac{35}{8}}{9 \cdot \frac{32}{32} - \frac{1}{32}}$

Schritt 14.3.3

Kombiniere $9$ und $\frac{32}{32}$ .

$\frac{- \frac{35}{8}}{\frac{9 \cdot 32}{32} - \frac{1}{32}}$

Schritt 14.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{35}{8}}{\frac{9 \cdot 32 - 1}{32}}$

Schritt 14.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $32$ .

$\frac{- \frac{35}{8}}{\frac{288 - 1}{32}}$

Schritt 14.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $288$ .

$\frac{- \frac{35}{8}}{\frac{287}{32}}$

Schritt 14.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{35}{8} \cdot \frac{32}{287}$

Schritt 14.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 14.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{35}{8}$ in den Zähler.

$\frac{- 35}{8} \cdot \frac{32}{287}$

Schritt 14.5.2

Faktorisiere $7$ aus $- 35$ heraus.

$\frac{7 (- 5)}{8} \cdot \frac{32}{287}$

Schritt 14.5.3

Faktorisiere $7$ aus $287$ heraus.

$\frac{7 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{32}{7 \cdot 41}$

Schritt 14.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{32}{7 \cdot 41}$

Schritt 14.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{32}{41}$

Schritt 14.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 14.6.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{8 (4)}{41}$

Schritt 14.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5}{8} \cdot \frac{8 \cdot 4}{41}$

Schritt 14.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 (\frac{4}{41})$

Schritt 14.7

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4}{41}$ .

$\frac{- 5 \cdot 4}{41}$

Schritt 14.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{- 20}{41}$

Schritt 14.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{41}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{20}{41}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{48780}$