Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{3}}{2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 (x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}})}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{2 (2 x^{3})}{2 (x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}})}$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{3}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{3}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{2}{\sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{6} + 15 x^{4}}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 15 x^{4}}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 15 lim_{x \to 8} x^{4}}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{1}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 15 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 8^{6} + 15 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 8^{6} + 15 \cdot 8^{4}}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $8$ mit $6$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 262144 + 15 \cdot 8^{4}}}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $262144$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 15 \cdot 8^{4}}}$

Schritt 12.1.3

Potenziere $8$ mit $4$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 15 \cdot 4096}}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $15$ mit $4096$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2359296 + 61440}}$

Schritt 12.1.5

Addiere $2359296$ und $61440$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2420736}}$

Schritt 12.1.6

Schreibe $2420736$ als $64^{2} \cdot 591$ um.

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Schritt 12.1.6.1

Faktorisiere $4096$ aus $2420736$ heraus.

$2 \frac{1}{\sqrt{4096 (591)}}$

Schritt 12.1.6.2

Schreibe $4096$ als $64^{2}$ um.

$2 \frac{1}{\sqrt{64^{2} \cdot 591}}$

Schritt 12.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \frac{1}{64 \sqrt{591}}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64 \sqrt{591}$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (32 \sqrt{591})}$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 (32 \sqrt{591})}$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{32 \sqrt{591}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{1}{32 \sqrt{591}}$ mit $\frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$ .

$\frac{1}{32 \sqrt{591}} \cdot \frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$

Schritt 12.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{32 \sqrt{591}}$ mit $\frac{\sqrt{591}}{\sqrt{591}}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \sqrt{591} \sqrt{591}}$

Schritt 12.4.2

Bewege $\sqrt{591}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 (\sqrt{591} \sqrt{591})}$

Schritt 12.4.3

Potenziere $\sqrt{591}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 ({\sqrt{591}}^{1} \sqrt{591})}$

Schritt 12.4.4

Potenziere $\sqrt{591}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 ({\sqrt{591}}^{1} {\sqrt{591}}^{1})}$

Schritt 12.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{591}}{32 {\sqrt{591}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 {\sqrt{591}}^{2}}$

Schritt 12.4.7

Schreibe ${\sqrt{591}}^{2}$ als $591$ um.

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Schritt 12.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{591}$ als $591^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{591}}{32 {(591^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591^{1}}$

Schritt 12.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{591}}{32 \cdot 591}$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $32$ mit $591$ .

$\frac{\sqrt{591}}{18912}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{591}}{18912}$

Dezimalform:

$0.00128545 \dots$