Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x - x^{2} - 4}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x - x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x - x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x - lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8 - 8^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8 - 8^{2} - 1 \cdot 4}}{8}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{128 - 8^{2} - 1 \cdot 4}}{8}$

Schritt 8.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{128 - 1 \cdot 64 - 1 \cdot 4}}{8}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{128 - 64 - 1 \cdot 4}}{8}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{128 - 64 - 4}}{8}$

Schritt 8.1.5

Subtrahiere $64$ von $128$ .

$\frac{\sqrt{64 - 4}}{8}$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$\frac{\sqrt{60}}{8}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (15)}}{8}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}{8}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{15}}{8}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{15})}{8}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{15}}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

Dezimalform:

$0.96824583 \dots$