Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Dividiere $\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{1 + lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{1 + \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{1 + \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 1.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{1 + \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{8^{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{64}}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{64}{64} + \frac{1}{64}}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{64 + 1}{64}}$

Schritt 3.4

Addiere $64$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{65}{64}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\sqrt{\frac{65}{64}}$ als $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{64}}$ um.

$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{64}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{8^{2}}}$

Schritt 3.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{65}}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{65}}{8}$

Dezimalform:

$1.00778221 \dots$