Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 - 4}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.1.3

Addiere $64$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{65 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.1.4

Subtrahiere $1$ von $65$ .

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.1.5

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{8}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 1 \cdot 4}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 4}}$

Schritt 13.2.3

Addiere $64$ und $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{66 - 4}}$

Schritt 13.2.4

Subtrahiere $4$ von $66$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{62}}$ mit $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}} \cdot \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$

Schritt 13.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{62}}$ mit $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{\sqrt{62} \sqrt{62}}$

Schritt 13.4.2

Potenziere $\sqrt{62}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} \sqrt{62}}$

Schritt 13.4.3

Potenziere $\sqrt{62}$ mit $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} {\sqrt{62}}^{1}}$

Schritt 13.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{2}}$

Schritt 13.4.6

Schreibe ${\sqrt{62}}^{2}$ als $62$ um.

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Schritt 13.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{62}$ als $62^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{8 \sqrt{62}}{{(62^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{1}}$

Schritt 13.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62}$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $62$ .

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{62}$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{62}$

Schritt 13.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $62$ heraus.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 (31)}$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 \cdot 31}$

Schritt 13.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Dezimalform:

$1.01600101 \dots$