Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{b^{3} - 7 b^{2} + 12 b}{4 - b^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{b^{3} - 7 b^{2} + 12 b}{4 - b^{3}}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{b^{3} - 7 b^{2} + 12 b}{4 - b^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{3} - 7 b^{2} + 12 b$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{3}$ heraus.

$\frac{b \cdot b^{2} - 7 b^{2} + 12 b}{4 - b^{3}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $b$ aus $- 7 b^{2}$ heraus.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (- 7 b) + 12 b}{4 - b^{3}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $b$ aus $12 b$ heraus.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (- 7 b) + b \cdot 12}{4 - b^{3}}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot b^{2} + b (- 7 b)$ heraus.

$\frac{b (b^{2} - 7 b) + b \cdot 12}{4 - b^{3}}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $b$ aus $b (b^{2} - 7 b) + b \cdot 12$ heraus.

$\frac{b (b^{2} - 7 b + 12)}{4 - b^{3}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $b^{2} - 7 b + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{b ((b - 4) (b - 3))}{4 - b^{3}}$

$\frac{b (b - 4) (b - 3)}{4 - b^{3}}$