Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{6 e^{x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 lim_{x \to 8} \frac{e^{x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$6 \frac{lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} 1 + e^{- x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 1 + e^{- x}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} e^{- x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + lim_{x \to 8} e^{- x}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + e^{lim_{x \to 8} - x}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$6 \frac{e^{lim_{x \to 8} x}}{1 + e^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + e^{- lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + e^{- 8}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{e^{8}}{1 + \frac{1}{e^{8}}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$6 \frac{e^{8}}{\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}}$

Schritt 9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 \frac{e^{8}}{\frac{e^{8} + 1}{e^{8}}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$6 (e^{8} \frac{e^{8}}{e^{8} + 1})$

Schritt 9.3

Multipliziere $e^{8} \frac{e^{8}}{e^{8} + 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $e^{8}$ und $\frac{e^{8}}{e^{8} + 1}$ .

$6 \frac{e^{8} e^{8}}{e^{8} + 1}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere $e^{8}$ mit $e^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{e^{8 + 8}}{e^{8} + 1}$

Schritt 9.3.2.2

Addiere $8$ und $8$ .

$6 \frac{e^{16}}{e^{8} + 1}$

Schritt 9.4

Kombiniere $6$ und $\frac{e^{16}}{e^{8} + 1}$ .

$\frac{6 e^{16}}{e^{8} + 1}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{6 e^{16}}{e^{8} + 1}$

Dezimalform:

$17879.74993435 \dots$