Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{3 x^{4} + x}}{x^{2} - 8}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{4} + x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x^{3}) + x}}{x^{2} - 8}$

Schritt 1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x^{3}) + x^{1}}}{x^{2} - 8}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x^{3}) + x \cdot 1}}{x^{2} - 8}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{3}) + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x^{3} + 1)}}{x^{2} - 8}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x^{3} + 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8}{x^{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x^{3} + 1)}{x^{4}}}}{1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x^{3} + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x^{3} + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{3 x^{3} + 1}{x^{3}}}}{1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{3 x^{3} + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{3 x^{3} + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 5.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{3} + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 9.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{1}}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x^{2}}}$

Schritt 9.4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{1}}}{1 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 + 0}{1}}}{1 - 8 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Dividiere $3 + 0$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 0}}{1 - 8 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{1 - 8 \cdot 0}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{1 + 0}$

Schritt 11.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- \sqrt{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 1.73205080 \dots$