Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{e^{2} - x^{4}}{31 x - 2 x^{3}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $e^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $31$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 lim_{x \to - 8} x^{3}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Schreibe ${(- 8)}^{4}$ als ${({(- 8)}^{2})}^{2}$ um.

$\frac{e^{2} - {({(- 8)}^{2})}^{2}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = {(- 8)}^{2}$ .

$\frac{(e + {(- 8)}^{2}) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Vereinfache.

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Schritt 10.1.3.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.1.3.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - 1 \cdot 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $31$ mit $- 8$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 \cdot - 512}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 512$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 + 1024}$

Schritt 10.2.4

Addiere $- 248$ und $1024$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Dezimalform:

$- 5.26882853 \dots$