Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (2 x)}{\ln (3 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (2 x)}{lim_{x \to 8} \ln (3 x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} \ln (3 x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \ln (3 x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 8} x)}{\ln (lim_{x \to 8} 3 x)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 8} x)}{\ln (3 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 8)}{\ln (3 lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 8)}{\ln (3 \cdot 8)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\ln (16)}{\ln (3 \cdot 8)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{\ln (16)}{\ln (24)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (16)}{\ln (24)}$

Dezimalform:

$0.87241716 \dots$