Analysis Beispiele

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{lim_{x \to a} x^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $n$ von $x^{n}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - lim_{x \to a} a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $a^{n}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{a^{n} - a^{n}}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.2.3

Subtrahiere $a^{n}$ von $a^{n}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} a}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to a} x - a}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$\frac{0}{a - a}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to a} \frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n} - a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{n} - a^{n}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]$ .

$lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{d x} [x^{n}] + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + \frac{d}{d x} [- a^{n}]}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.4

Da $- a^{n}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a^{n}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $n x^{n - 1}$ und $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren von $n x^{n - 1}$ um.

$lim_{x \to a} \frac{x^{n - 1} n}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Faktoren in $x^{n - 1} n$ um.

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x - a]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Schritt 1.3.8

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to a} \frac{n x^{n - 1}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $n x^{n - 1}$ durch $1$ .

$lim_{x \to a} n x^{n - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $n$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$n lim_{x \to a} x^{n - 1}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $n - 1$ von $x^{n - 1}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$n {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

$n a^{n - 1}$