Analysis Beispiele

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 1.4.2

Wandle von $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ nach $\cot (3 x)$ um.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $90$ annähert.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Schritt 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $90$ für $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Schritt 4

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Schritt 5

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Schritt 6

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 1.995$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 1.995$ .

$- 1.995$

Schritt 7

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Schritt 8

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Schritt 9

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 1.995$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $3$ mit $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Schritt 10.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Schritt 10.3

Der genau Wert von $\cot (90)$ ist $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1.995$ mit $0$ .

$0$