Analysis Beispiele

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.4.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $90$ annähert.

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sec (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 2.232$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sec (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 2.232$ .

$- 2.232$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sec (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 2.232$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sec (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Schritt 9

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Schritt 10

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Schritt 11

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 1.995$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\tan (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 1.995$ .

$- 1.995$

Schritt 12

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Schritt 13

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\tan (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $90$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Schritt 14

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $90$ nähern sich die Funktionswerte $- 1.995$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\tan (x)$ für $x$ gegen $90$ gleich $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 2.232$ mit $- 1.995$ .

$4.45284$