Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) (10 + 2 x)}{(3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} (5 - x) (10 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 (10 + 2 x) - x (10 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 \cdot 10 + 5 (2 x) - x (10 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 \cdot 10 + 5 (2 x) - x \cdot 10 - x (2 x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 \cdot 10 + 5 \cdot 2 x - 1 \cdot 10 x - x (2 x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Bewege $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 \cdot 10 + 5 \cdot 2 x - 1 \cdot 10 x - 1 \cdot 2 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 5 \cdot 2 x - 1 \cdot 10 x - 1 \cdot 2 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 1 \cdot 10 x - 1 \cdot 2 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 1 \cdot 2 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 2 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 2 (x^{1} x)}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 2 (x^{1} x^{1})}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 2 x^{1 + 1}}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 10 x - 10 x - 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.8.2

Subtrahiere $10 x$ von $10 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 + 0 - 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $0$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 50 - 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.8.3.2

Stelle $50$ und $- 2 x^{2}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 50}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.2.9

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} (3 - 8 x) (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 (8 + 3 x) - 8 x (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot 8 + 3 (3 x) - 8 x (8 + 3 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot 8 + 3 (3 x) - 8 x \cdot 8 - 8 x (3 x)}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot 8 + 3 \cdot 3 x - 8 \cdot 8 x - 8 x (3 x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Bewege $x$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot 8 + 3 \cdot 3 x - 8 \cdot 8 x - 8 \cdot 3 x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 3 \cdot 3 x - 8 \cdot 8 x - 8 \cdot 3 x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 8 \cdot 8 x - 8 \cdot 3 x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.4.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 8 \cdot 3 x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.4.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 24 x \cdot x}$

Schritt 1.1.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 24 (x^{1} x)}$

Schritt 1.1.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 24 (x^{1} x^{1})}$

Schritt 1.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 24 x^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 + 9 x - 64 x - 24 x^{2}}$

Schritt 1.1.3.8.2

Subtrahiere $64 x$ von $9 x$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 - 55 x - 24 x^{2}}$

Schritt 1.1.3.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.8.3.1

Stelle $- 55 x$ und $- 24 x^{2}$ um.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 24 - 24 x^{2} - 55 x}$

Schritt 1.1.3.8.3.2

Bewege $24$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} - 24 x^{2} - 55 x + 24}$

Schritt 1.1.3.9

Der Grenzwert eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient negativ ist, bei unendlich, ist minus unendlich.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 1.1.3.10

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{- \infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) (10 + 2 x)}{(3 - 8 x) (8 + 3 x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(5 - x) (10 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(5 - x) (10 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 - x$ und $g (x) = 10 + 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [10 + 2 x] + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [2 x] + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(5 - x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (5 - x) \frac{d}{d x} [x] + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) \cdot 1 + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) + (10 + 2 x) \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $10 + 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) - 1 \cdot (10 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.17

Schreibe $- 1 (10 + 2 x)$ als $- (10 + 2 x)$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (5 - x) - (10 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18

Vereinfache.

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Schritt 1.3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5 + 2 (- x) - (10 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5 + 2 (- x) - 1 \cdot 10 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.18.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 + 2 (- x) - 1 \cdot 10 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 2 x - 1 \cdot 10 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 2 x - 10 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 2 x - 10 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.5

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.6

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 x}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.18.3.7

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{\frac{d}{d x} [(3 - 8 x) (8 + 3 x)]}$

Schritt 1.3.19

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 - 8 x$ und $g (x) = 8 + 3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{(3 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 + 3 x] + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.20

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{(3 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]) + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.21

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{(3 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.22

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{(3 - 8 x) \frac{d}{d x} [3 x] + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.23

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{(3 - 8 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.24

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 - 8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 \cdot (3 - 8 x) \frac{d}{d x} [x] + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.25

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) \cdot 1 + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.26

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [3 - 8 x]}$

Schritt 1.3.27

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 8 x])}$

Schritt 1.3.28

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x])}$

Schritt 1.3.29

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) \frac{d}{d x} [- 8 x]}$

Schritt 1.3.30

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.31

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) (- 8 \cdot 1)}$

Schritt 1.3.32

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) + (8 + 3 x) \cdot - 8}$

Schritt 1.3.33

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $8 + 3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 (3 - 8 x) - 8 \cdot (8 + 3 x)}$

Schritt 1.3.34

Vereinfache.

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Schritt 1.3.34.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 x) - 8 (8 + 3 x)}$

Schritt 1.3.34.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{3 \cdot 3 + 3 (- 8 x) - 8 \cdot 8 - 8 (3 x)}$

Schritt 1.3.34.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.34.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{9 + 3 (- 8 x) - 8 \cdot 8 - 8 (3 x)}$

Schritt 1.3.34.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{9 - 24 x - 8 \cdot 8 - 8 (3 x)}$

Schritt 1.3.34.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{9 - 24 x - 64 - 8 (3 x)}$

Schritt 1.3.34.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{9 - 24 x - 64 - 24 x}$

Schritt 1.3.34.3.5

Subtrahiere $64$ von $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{- 24 x - 55 - 24 x}$

Schritt 1.3.34.3.6

Subtrahiere $24 x$ von $- 24 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{- 48 x - 55}$

Schritt 2

Ziehe den Term $- 4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 48 x - 55}$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{- 48 x}{x} + \frac{- 55}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{- 48 x}{x} + \frac{- 55}{x}}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{- 48 x}{x} + \frac{- 55}{x}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{- 48 x}{x} + \frac{- 55}{x}}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- 48$ durch $1$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 48 + \frac{- 55}{x}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 48 - \frac{55}{x}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 48 - \frac{55}{x}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 4 \frac{1}{lim_{x \to \infty} - 48 - \frac{55}{x}}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 4 \frac{1}{- lim_{x \to \infty} 48 - lim_{x \to \infty} \frac{55}{x}}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $48$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 4 \frac{1}{- 1 \cdot 48 - lim_{x \to \infty} \frac{55}{x}}$

Schritt 4.7

Ziehe den Term $55$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 \frac{1}{- 48 - 55 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$- 4 \frac{1}{- 48 - 55 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 55$ mit $0$ .

$- 4 \frac{1}{- 48 + 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $- 48$ und $0$ .

$- 4 (\frac{1}{- 48})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{1}{- 48}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot - 12}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot - 12}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{- 12}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{12}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- - \frac{1}{12}$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{12})$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$\frac{1}{12}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{12}$

Dezimalform:

$0.08\overline{3}$