Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 2.8

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{1}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4 + 0}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$