Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{- x} + 5}{3^{- x} + 7}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{- x} + 5}{lim_{x \to \infty} 3^{- x} + 7}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{- x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 3^{- x} + 7}$

Schritt 2

Da der Exponent $- x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{- x}$ $0$ an.

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 3^{- x} + 7}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to \infty} 3^{- x} + 7}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to \infty} 3^{- x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Schritt 4

Da der Exponent $- x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $3^{- x}$ $0$ an.

$\frac{0 + 5}{0 + lim_{x \to \infty} 7}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 + 5}{0 + 7}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{5}{0 + 7}$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$\frac{5}{7}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{7}$

Dezimalform:

$0.\overline{714285}$