Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3}}^{3}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

${(\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Schritt 9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 + 3 \cdot 0$ und $0 + 4 \cdot 0 + 3$ .

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Schritt 11.2.1.1

Stelle die Terme um.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

${(\frac{3 (0) + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 0$ heraus.

${(\frac{3 (0) + 3 (0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (0) + 3 (0)$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $0 \cdot 4$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 3 (0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (0) + 3 (0 \cdot 4)$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.4

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1$ heraus.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Schritt 11.2.1.5.7

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{0 + 0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

${(\frac{0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

${(\frac{0}{0 + 0 + 1})}^{3}$

Schritt 11.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

${(\frac{0}{0 + 1})}^{3}$

Schritt 11.2.3.3

Addiere $0$ und $1$ .

${(\frac{0}{1})}^{3}$

Schritt 11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0^{3}$

Schritt 11.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$