Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x \log_{2} (x)}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x \log_{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{3}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x))}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)}{1}$

Schritt 1.2.4

Dividiere $x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{2}} \log_{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \log_{2} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \log_{2} (x)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ und $\log_{2} (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\log_{2} (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Schritt 3.1.3

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\log_{2} (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\log_{2} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Schritt 3.3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Schritt 3.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Schritt 3.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Schritt 3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.3.10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.3.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (2)}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (2)} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (2)} (2 \sqrt{x})$

Schritt 3.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x \ln (2)} \sqrt{x}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{2}{x \ln (2)}$ und $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \ln (2)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{2}{\ln (2)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 5.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 5.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache.

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Schritt 5.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 5.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (2)}$ mit $0$ .

$0$