Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{\ln (x)}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{1}{\ln (x)}}$ als $e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{\ln (x)}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{\ln (x)}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)} \ln (x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (x)}$ und $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\ln (x)}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

$e$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$