Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - 6 x}{2 x + 11}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{11}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - 6}{\frac{2 x}{x} + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - 6}{\frac{2 x}{x} + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - 6}{2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 6}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{11}{x}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x}}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x}}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $11$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{2 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{2 + 11 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 \cdot 0 - 1 \cdot 6$ und $2 + 11 \cdot 0$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 \cdot 0$ heraus.

$\frac{- (- 5 \cdot 0) - 1 \cdot 6}{2 + 11 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 6$ heraus.

$\frac{- (- 5 \cdot 0) - 1 (6)}{2 + 11 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 \cdot 0) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{- (- 5 \cdot 0 + 6)}{2 + 11 \cdot 0}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- (- 5 \cdot 0 + 6)$ als $- 1 (- 5 \cdot 0 + 6)$ um.

$\frac{- 1 (- 5 \cdot 0 + 6)}{2 + 11 \cdot 0}$

Schritt 6.1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 5 \cdot 0 + 6)}{2 + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 5 \cdot 0 + 6)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 5 \cdot 0 + 3))}{2 + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.1.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 5 \cdot 0 + 3))}{2 (1) + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 11$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 5 \cdot 0 + 3))}{2 (1) + 2 (0 \cdot 11)}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (0 \cdot 11)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 5 \cdot 0 + 3))}{2 (1 + 0 \cdot 11)}$

Schritt 6.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 5 \cdot 0 + 3))}{2 (1 + 0 \cdot 11)}$

Schritt 6.1.7.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 5 \cdot 0 + 3)}{1 + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$\frac{- 1 (0 + 3)}{1 + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{1 + 0 \cdot 11}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $11$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{1 + 0}$

Schritt 6.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3}{1}$

Schritt 6.5

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- 3$