Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x (\arctan (\frac{x}{x + 1}) - \frac{π}{4})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \arctan (\frac{x}{x + 1}) - \frac{π}{4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} \arctan (\frac{x}{x + 1}) - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Schritt 3

Addiere $8$ und $1$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (\frac{8}{9} - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Schritt 4

Ersetze $t$ für $\frac{x}{x + 1}$ und lasse $t$ sich $\frac{8}{9}$ nähern solange $lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1} = \frac{8}{9}$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - lim_{x \to 8} \frac{π}{4})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $\frac{π}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - \frac{π}{4})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot (lim_{t \to \frac{8}{9}} \arctan (t) - \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Addiere $8$ und $1$ .

$8 \cdot (\arctan (\frac{8}{9}) - \frac{π}{4})$

Schritt 6.3

Berechne $\arctan (\frac{8}{9})$ .

$8 \cdot (0.72664234 - \frac{π}{4})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von $0.72664234$ .

$8 \cdot - 0.05875582$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.05875582$ .

$- 0.47004658$