Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x (1 - \cos (\frac{1}{x}))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} 1 - \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos (\frac{1}{x}))$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (1 - lim_{x \to 8} \cos (\frac{1}{x}))$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 8} \frac{1}{x}))$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (1 - \cos (\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}))$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot (1 - \cos (\frac{1}{lim_{x \to 8} x}))$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot (1 - \cos (\frac{1}{lim_{x \to 8} x}))$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot (1 - \cos (\frac{1}{8}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Berechne $\cos (\frac{1}{8})$ .

$8 \cdot (1 - 1 \cdot 0.99219766)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.99219766$ .

$8 \cdot (1 - 0.99219766)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $0.99219766$ von $1$ .

$8 \cdot 0.00780233$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $8$ mit $0.00780233$ .

$0.06241866$