Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sin (x^{3}) \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sin (x^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 8} x^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \sin (\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \sin (\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}})$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sin ({(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \sin (\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}})$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sin (8^{3}) \cdot \sin (\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}})$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sin (8^{3}) \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sin (512) \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Schritt 9.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (152) \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Schritt 9.3

Berechne $\sin (152)$ .

$0.46947156 \cdot \sin (\frac{1}{8^{2}})$

Schritt 9.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$0.46947156 \cdot \sin (\frac{1}{64})$

Schritt 9.5

Berechne $\sin (\frac{1}{64})$ .

$0.46947156 \cdot 0.0002727$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $0.46947156$ mit $0.0002727$ .

$0.00012802$