Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 3.2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 3.2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 3.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 3.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 3.2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Dezimalform:

$0.92387953 \dots$