Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 8 x^{3} e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 lim_{x \to 8} x^{3} e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$8 lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} e^{- x^{2}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{lim_{x \to 8} - x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{- lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot e^{- {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot 8^{3} \cdot e^{- {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot 8^{3} \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Multipliziere $8$ mit $8^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8^{3}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$8^{1} \cdot 8^{3} \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8^{1 + 3} \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 8.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$8^{4} \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 8.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$4096 \cdot e^{- 8^{2}}$

Schritt 8.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$4096 \cdot e^{- 1 \cdot 64}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$4096 \cdot e^{- 64}$

Schritt 8.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4096 \cdot \frac{1}{e^{64}}$

Schritt 8.6

Kombiniere $4096$ und $\frac{1}{e^{64}}$ .

$\frac{4096}{e^{64}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4096}{e^{64}}$

Dezimalform:

$6.5692094 \cdot 10^{- 25}$