Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{17 x + h}{x^{3} (x - h)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{x^{3}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x^{3}} lim_{h \to 0} \frac{17 x + h}{x - h}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 17 x + h}{lim_{h \to 0} x - h}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 17 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} x - h}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $17 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} x - h}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x + lim_{h \to 0} h}{x - lim_{h \to 0} h}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x + 0}{x - lim_{h \to 0} h}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x + 0}{x + 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Addiere $17 x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x}{x + 0}$

Schritt 8.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{17 x}{x}$

Schritt 8.3

Kombinieren.

$\frac{1 (17 x)}{x^{3} x}$

Schritt 8.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 8.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 (17 x)}{x^{3} x^{1}}$

Schritt 8.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 (17 x)}{x^{3 + 1}}$

Schritt 8.4.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1 (17 x)}{x^{4}}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $17 x$ mit $1$ .

$\frac{17 x}{x^{4}}$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $x$ aus $17 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 17}{x^{4}}$

Schritt 8.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot 17}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 8.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 17}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 8.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{17}{x^{3}}$