Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$ .

$\frac{z (z^{2} - 3)}{z^{2} - 3} - \frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z (z^{2} - 3) - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z \cdot z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $z$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{z^{1 + 2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{z^{3} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{z^{3} - 3 \cdot z - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} - - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.6

Subtrahiere $z^{3}$ von $z^{3}$ .

$\frac{- 3 z + 0 + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.3.7

Addiere $- 3 z$ und $0$ .

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + \frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 z + 5 + z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{- 3 z + z^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Schritt 2.6.2

Es sei $u = z$ . Ersetze $u$ für alle $z$ .

$\frac{- 3 u + u^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $- 3 u + u^{2} + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.6.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 2.6.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(u - 2) (u - 1)}{z^{2} - 3}$

Schritt 2.6.4

Ersetze alle $u$ durch $z$ .

$\frac{(z - 2) (z - 1)}{z^{2} - 3}$