Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x \sin (\frac{9 π}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{9 π}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{9 π}{x})$

Schritt 3

Ziehe den Term $9 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (9 π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (9 π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (9 π \frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Multipliziere $9 π \frac{1}{8}$ .

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $9$ .

$8 \cdot \sin (\frac{9}{8} π)$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $\frac{9}{8}$ und $π$ .

$8 \cdot \sin (\frac{9 π}{8})$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{9 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\frac{9 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

Schritt 7.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}})$

Schritt 7.2.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}})$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 7.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 7.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 7.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 7.2.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 7.2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \cdot (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 7.2.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Schritt 7.2.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Schritt 7.2.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \cdot (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ in den Zähler.

$8 \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot (- \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$- 3.06146745 \dots$