Analysis Beispiele

$lim_{x \to 9} \frac{h^{3} - 729}{h - 9}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{h^{3} - 729}{h - 9}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{h^{3} - 729}{h - 9}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$\frac{h^{3} - 9^{3}}{h - 9}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = h$ und $b = 9$ .

$\frac{(h - 9) (h^{2} + h \cdot 9 + 9^{2})}{h - 9}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{(h - 9) (h^{2} + 9 \cdot h + 9^{2})}{h - 9}$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{(h - 9) (h^{2} + 9 h + 81)}{h - 9}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h - 9$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(h - 9) (h^{2} + 9 h + 81)}{h - 9}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $h^{2} + 9 h + 81$ durch $1$ .

$h^{2} + 9 h + 81$