Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\sqrt[5]{8}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Schritt 5.2.5

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ als $8$ um.

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Schritt 5.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{8}$ als $8^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 5.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 5.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 5.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 5.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Schritt 5.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ als $\sqrt[5]{8^{4}}$ um.

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4096}}{8}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $4096$ als $4^{5} \cdot 4$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $1024$ aus $4096$ heraus.

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1024$ als $4^{5}$ um.

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Schritt 5.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\ln (8) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (8)$ als $\ln (2^{3})$ um.

$\frac{\ln (2^{3}) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Schritt 5.5

Zerlege $\ln (2^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4$ aus $3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}$ heraus.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{8}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Dezimalform:

$1.37191978 \dots$