Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $80$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 1.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $e^{- 8}$ als ${(e^{- 4})}^{2}$ um.

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- 4}$ und $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe $e^{- 4}$ als ${(e^{- 2})}^{2}$ um.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

Schritt 3.1.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 3.1.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- 2}$ und $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Schritt 3.1.4.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Schritt 3.1.4.5.2

Schreibe $e^{- 2}$ als ${(e^{- 1})}^{2}$ um.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

Schritt 3.1.4.5.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

Schritt 3.1.4.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{- 1}$ und $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Schritt 3.1.4.5.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.5.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Schritt 3.1.4.5.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

Schritt 3.1.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

Schritt 3.1.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

Schritt 3.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.14.1

Mutltipliziere $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ mit $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.2

Multipliziere $e^{4}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.14.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.3

Mutltipliziere $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ mit $\frac{1 + e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.4

Multipliziere $e^{6}$ mit $e$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.14.4.1

Mutltipliziere $e^{6}$ mit $e$ .

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Schritt 3.1.14.4.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.4.2

Addiere $6$ und $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Schritt 3.1.14.5

Mutltipliziere $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ mit $\frac{1 - e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

Schritt 3.1.14.6

Multipliziere $e^{7}$ mit $e$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.14.6.1

Mutltipliziere $e^{7}$ mit $e$ .

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Schritt 3.1.14.6.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

Schritt 3.1.14.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

Schritt 3.1.14.6.2

Addiere $7$ und $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ mit $1$ .

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Schritt 3.4

Kombiniere $80$ und $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ .

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Dezimalform:

$- 80.02684601 \dots$