Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{8 + 9 x + 2 x^{3}}{x^{3}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 8 + 9 x + 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 8 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{8 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 + 9 lim_{x \to 8} x + 2 lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 + 9 lim_{x \to 8} x + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x^{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 + 9 lim_{x \to 8} x + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 + 9 \cdot 8 + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 + 9 \cdot 8 + 2 \cdot 8^{3}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 + 9 \cdot 8 + 2 \cdot 8^{3}}{8^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$\frac{8 + 72 + 2 \cdot 8^{3}}{8^{3}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{8 + 72 + 2 \cdot 512}{8^{3}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{8 + 72 + 1024}{8^{3}}$

Schritt 9.1.4

Addiere $8$ und $72$ .

$\frac{80 + 1024}{8^{3}}$

Schritt 9.1.5

Addiere $80$ und $1024$ .

$\frac{1104}{8^{3}}$

Schritt 9.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{1104}{512}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1104$ und $512$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $16$ aus $1104$ heraus.

$\frac{16 (69)}{512}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $512$ heraus.

$\frac{16 \cdot 69}{16 \cdot 32}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot 69}{16 \cdot 32}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{69}{32}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{69}{32}$

Dezimalform:

$2.15625$