Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{9 - 8 x + \sin (2 x)}{9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - 8 x + \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (lim_{x \to - 8} 2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Schritt 8

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (lim_{x \to - 8} 2 x)}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (- 16)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.1.3

Berechne $\sin (- 16)$ .

$\frac{9 + 64 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.1.4

Addiere $9$ und $64$ .

$\frac{73 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.1.5

Subtrahiere $0.27563735$ von $73$ .

$\frac{72.72436264}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (- 16)}$

Schritt 12.2.3

Berechne $\cos (- 16)$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + 0.96126169}$

Schritt 12.2.4

Addiere $- 72$ und $0.96126169$ .

$\frac{72.72436264}{- 71.0387383}$

Schritt 12.3

Dividiere $72.72436264$ durch $- 71.0387383$ .

$- 1.02372824$